Zur Themenwahl
Vorausgesetzt werden die Eigenschaften von Achsenspiegelungen
Satz
Die Diagonale eines Rechtecks geht durch den Schnittpunkt der beiden Symmetrieachsen des Rechtecks.
Ein Rechteck wird an einer waagerechten und an einer senkrechtenAchse mehrfach gespiegelt. Nach dem dritten
Spiegeln ergeben alle Bilder zusammen ein großes Rechteck, in dem die Spiegelachsen die Symmetrieachsen sind.
Klicken:
1. Achse
1. Spieg.
2. Achse
2. Spieg.
wieder 1. Achse
3. Spieg.
Gleiche Winkelgr
Getreckter Mittelpunktswinkel
Da der Mittelpunktswinkel 180° groß ist, geht die Diagonale des Rechtecks durch den Schnittpunkt der beiden Symmetrieachsen.
Satz
Wechselwinkel und Stufenwinkel an Parallelen sind gleich groß.
Zwei Parallelen werden durch eine Gerade geschnitten. Das Bild wird zu einem Rechteck ergänzt, in dem nach dem oben
angegebenen Satz die angegebenen Winkelgrößen gleich sind.
Klicken:
Ergänzen zum Rechteck
Gleiche Winkelgr.
Die angegebenen Winkel sind Wechsel- bzw. Stufenwinkel. Da die Wechselwinkel nach dem obigen Beweis gleich groß sind und weil das auch für Scheitelwinkel gilt, ist der Satz bewiesen.
Satz
Die Summe der Winkelgrößen im Dreieck ist 180°.
Das Dreieck wird zwischen zwei Parallelen gelegt. Dann wird der Satz über die Wechselwinkel an Parallelen benutzt.
Klicken:
Dreieck zwischen Parallelen legen
Gleiche Winkelgr.
Die Summe der Winkelgrößen im Dreieck ist W1 + W2 + W3.
Die Summe der Winkelgrößen an der oberen Parallele ergibt
180° = W1 + W3 + W2.
Satz
Die Summe der Winkelgrößen im n-Eck ist (n-2)180°.
Das n-Eck wird in Dreiecke zerlegt (trianguliert). Dabei ergeben sich bei n Ecken (n-2) Dreiecke. Da jedes Dreieck einen
Anteil von 180° zur Winkelgrößensumme beiträgt, ergibt sich schließlich als Summe (n-2)180°.
Klicken:
Dreieck
Viereck
5-Eck
n-Eck
n+1 - Eck
Im Dreieck: 3 Ecken 1 Dreieck,
also (3-1)180°.
Im Viereck: 4 Ecken 2 Dreiecke,
also (4-2)180°.
Im 5-eck: 5 Ecken 3 Dreiecke,
also (5-2)180°.
In einem beliebigen n-Eck gelte
(n-2)180°. Die Eckenzahl wird um 1 erhöht..
Dann erhöht sich auch im n+1-Eck die Dreiecksanzahl um 1.
Also gilt der Satz insgesamt.
Zur Themenwahl
